Számrendszerek:
I. Tízes számrendszer /decimális/: Mindössze 10 db. alapszámból bármelyik benne lévő számot fel lehet írni; ezek: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9. Mi emberek ezen számrendszert használjuk számolásunkhoz, mert nekünk ezt könnyebb elsajátítanunk; már csak ha a 10 újunkra gondolok is, melyen egyesek számolnak is. A tízes számrendszerünk hindu eredetű, amely arab közvetítéssel jutott el Európába a középkorban.
pl.: 523 kimondva: ötszázhuszonhárom
II. Kettes számrendszer /decimális/: Mindössze 2 db. alapszámból felírható az összes számrendszerbeli szám; ezek: 0 1. A számítógépnek ebben a számrendszerben sokkal könnyebb kommunikálnia, ugyanis a számítógép elektromos árammal működik, és egyszerűbb a jeleket úgy elosztani, hogy ha van áram, akkor az 1-est jelent, ha nincs, akkor az meg 0-ásat.
pl.: 10110 kimondva: egynullaegyegynulla
III. Nyolcas számrendszer /oktális/: 2 db. alapszámból építhető fel az összes szám, ezek: 0 1 2 3 4 5 6 7. A yuki törzs Kaliforniában és a mexikói pamenan nyelv nyolcas számrendszert használ, mert az ujjközeikkel számolnak. https://hu.wikipedia.org/wiki/Nyolcas_sz%C3%A1mrendszer
IV. Tizenhatos számrendszer /hexadecimális/: 15 db. számból állíthatjuk össze a számokat, ezek: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A=10 B=11 C=12 D=13 E=14 F=15. A 16-os számon alapuló számrendszer, az informatika kulcsfontosságú számrendszere. https://hu.wikipedia.org/wiki/Tizenhatos_sz%C3%A1mrendszer
pl: BAF290C vagy FFFFFFFF
Érdekességek:
A legegyszerűbb számrendszer az egyes számrendszer, unáris számrendszer, amelyben minden természetes számot megfelelő számú szimbólummal ábrázolnak. Ha a megjelenítésre a ′ szimbólumot választjuk, akkor például a hetes számot a következő képen jeleníthető meg: ′′′′′′′. Az unáris rendszer jól használható kisebb számok esetén.
Az unáris ábrázolás rövidebbé tételéhez gyakran használnak speciális szimbólumokat, amelyek különleges jelentéssel bírnak. Ezek a speciális szimbólumok gyakran a 10 különböző hatványait (10, 100, 1000 stb.) jelentik. Így például, ha ′ jelenti az 1-et, a – jelenti a 10-et, és + jelenti a 100-at, akkor a számok tömörített formában a következő képen ábrázolhatók: a 304 szám +++ ′′′′ a 123 szám pedig + –– ′′′ formában jelenik meg.
A történelem előtti időkben a számokat fából vagy kövekből faragott „pálcikák” reprezentálták. A kőkorszaki kultúrákban, ideértve az ősi amerikai indián csoportokat, a pálcikákat lovak, szolgák, személyes szolgáltatások adás-vételénél, illetve szerencsejátékoknál használták.
A legelső írott emlékeket a pálcikák használatáról a sumerek hagyatékai között találták, agyagtáblákba karcolták, amelyeket később néha kiégettek. A sumerek a kissé különleges, a 10-es, 12-és és 60-as alapú számrendszer kombinációját használták az asztronómiai és egyéb számításaiknál. Ezt a rendszer átvették és az asztronómiában használták az ősi mediterrán nemzetek (akkádok, görögök, rómaiak és egyiptomiak). A rendszer maradványait könnyen felismerhetjük a mai idő- (órák, percek) és a szögmérésben (szögpercek).
Kínában, a katonák és a gazdálkodók már a maradékokat is használták a számításaikban (prímszámok). A csapatok számának, illetve a rizs mennyiségének méréséhez a pálcikák egyedi kombinációi szolgáltak. A számításokat kényelmesebbé tette a moduláris aritmetika, ami megkönnyítette a szorzást. A moduláris aritmetika használata egyszerűvé tette a számításokat. A moduláris aritmetikát ma a digitális jelfeldolgozás használja.
A Római Birodalomban a pálcikákat viaszba vagy kőbe karcolták, vagy papiruszra írták és a számok ábrázolására a görögöktől átvett rendszert használták, de egyes számokra saját jeleket vezettek be. A római számrendszer használata a helyiérték rendszer bevezetése előtt (1500-as évek) általános volt.
A közép-amerikai maja kultúra egy 20 vagy 18 alapú számrendszert használt, ismerték már a helyiértékeket és a nulla fogalmát. Nagyon pontos asztronómiai számításokat végeztek, különösen az év hosszával és a Vénusz pályájával kapcsolatban.
Az Inka Birodalom kiterjedt gazdaságirányítási rendszert működtetett kipu, ahol pálcikák helyett színes fonalakra kötött csomókat használtak. A csomók és színek használata a spanyol hódítók a 16. században történt megjelenésével feledésbe merült, ennek ellenére egy kipuhoz hasonló, egyszerű jelzésrendszer még ma is használatos az Andok területén.
Néhány szerző azt feltételezi, hogy a helyiérték rendszert széles körben az abakusz használatával a kínaiak terjesztették el. Az első írásos emlékek a pálcikákról, illetve az abakusz használatáról 400 körüliek. A kínai matematikusok a nullát csak 932 körül írták le.
Indiából, ahol már ismerték a modern helyiértékes rendszert, valószínűleg egy Indiába küldött követ által, egy 773 körül vásárolt asztronómiai táblázat közvetítésével jutott el a rendszer az arabokhoz. A rendszerek részleteit lásd arab számok és indiai számok.
A iszlám fejedelmek és Afrika, valamint az India közötti élénk kereskedelem juttatta el az indiaiak által használt rendszert Kairóba. Az arab matematikusok kibővítették az általuk addig használt rendszert a decimális hatványokkal, amit al-Hvárizmi a 9. században már írásban rögzített. A rendszerrel Európát Fibonacci a Liber Abaci 1201-ben, Spanyolországban megjelent munkájában ismertette meg, lefordítva az arab forrást. Így Európába a 12. században jutott el arab közvetítéssel a nullával kiegészített teljes indiai rendszer.
A 2-es alapú bináris rendszert már a 17. században Gottfried Leibniz ismertette, aki Kínában hallott róla, de általános használata a 20. században, a számítógépek megjelenésével terjedt el.
Felül a Kr. e. 3000 körüli sumér; alul az egyiptomi számjegyek láthatóak. Az ókori Egyiptomban négy számjeggyel le tudták írni a számokat egészen 10000-ig. Külön jelük volt az egyre ( |: egy pálcika), a tízre (Ç : egy fordított U alak), a százra, és az ezerre. Így tehát számrendszerük 10-es számrendszer volt, de helyértéket nem használtak.
Mezopotámiában, Babilonban alapvetően 60-as számrendszert használtak. 1-től 59-ig nem helyértékes módon jelölték a számokat, úgy, hogy a 10-re külön jelük volt. 60-tól 60-as helyértékes számrendszerben számoltak.
Mezopotámia: Babilon:
Az ókorban a görögöknél is a 10-es, de nem helyértékes számrendszer alakult ki. A számokat is az abc betűivel jelölték. Az első 9 számot az abc első 9 betűjével jelölték, a következő 9 betű a 9 darab tízest jelentette, majd 9 darab százast újabb betű. Mivel azonban az abc csak 24 jelből állt, 3 számra külön jelük volt.
A szavak és a számok megkülönbözetése érdekében a számot jelentő szó fölé vízszintes vonalat húztak. Az ezreseket is ugyanezekkel a betűkkel jelölték, de vesszőt tettek eléje.
Az ókori népek, így a görögök számolást segítő eszköze is az abakusz volt.
A rómaiak szintén 10-es, de nem helyértékes számrendszerben írták a számokat, de külön jelük volt még az 5, 50 és 500-as értékekre. Az európai kultúrában még ma is ismertek a római számjegyek: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI=11, XX=20, L=50, C=100, D=500, M=1000. Különösen épületek homlokzatán gyakori, hogy az épület elkészülésének dátumát római számjegyekkel írták fel, még jóval indo-arab számjegyek elterjedése után is. pl: MDCCCLXXXIV=1884
A 3. századból származó leletek tanúsága szerint a maják a 20-as, helyértékes számrendszert használtak. Sőt ebből többféle is elterjedt volt. 1-től 19-ig megvoltak a mellékelt ábrán látható jeleik. A nullát is jelölték.
Itt pedig a másik fajta számírásukat, az un. fej-számokat láthatjuk:
A maják is használtak a számoláshoz segédeszközt. Az ő abakuszuk “zsinóros” volt. Különböző számú csomó különböző értéket képviselt. Lehet, hogy innen ered: “Csomót kötök a zsebkendőmre….”?
Feladatok:
I. Tízesből kettes számrendszerbe:
1) 100 = ?
2) 140 = ?
3) 250 = ?
4) 120025 = ?
5) 2804 = ?
II. Kettesből tízes számrendszerbe:
10101100112 = 1*1+1*2+0*4+0*8+1*16+1*32+0*64+1*128+0*256+1*512=69110
110010101012= 1*1+0*2+1*4+0*8+1*16+0*32+1*64+0*128+0*256+1*512+1*1024=162110
1) 1101 = ?
2) 10010101 = ?
3) 11010011 = ?
4) 101101 = ?
5) 1101 = ?
Átváltások:
Átváltás decimális számrendszerből hexadecimális számrendszerbe
A decimális számrendszerbeli számokat tizenhattal való maradékos osztással tudjuk hexadecimális számrendszerbeli számmá alakítani.
Az átalakítandó számot osszuk el tizenhattal. Minden osztásnál jegyezzük fel a maradékot. Folytassuk az egészrésszel való osztást, amíg nullát nem kapunk. Figyeljünk arra, hogy 10-től felfelé az értékeket betűkkel jelöljük!
Lássunk erre egy példát! Az átalakítandó szám: 101510.
Az így kapott maradékokat lentről felfelé olvasva kapjuk meg a hexadecimális számot: 3F716.
Átváltás hexadecimális számrendszerből decimális számrendszerbe
A hexadecimális számrendszerbeli számokat úgy válthatjuk át decimális számrendszerbe, hogy a hexadecimális szám egyes számjegyeit megszorozzuk a hozzájuk tartozó helyiértékekkel, majd az így kapott értékeket összeadjuk.
Például az A516 hexadecimális szám decimális értékét az alábbi módon számíthatjuk ki.
Átváltás bináris számrendszerből hexadecimális számrendszerbe
Bináris számrendszerből hexadecimális számrendszerbe történő átváltáskor a bináris szám számjegyeit osszuk a szám utolsó számjegyétől kezdve négyes csoportokra. Ha az első csoportban négynél kevesebb számjegy szerepel, az első számjegy elé annyi nullát írjunk, hogy négy számjegyet kapjunk. Számítsuk ki az egyes csoportok értékeit, majd az így kapott számokat váltsuk át hexadecimális számjegyekké és olvassuk össze.
Lássunk egy példát! Az átváltandó szám az 101111110012.
A táblázat utolsó sorát balról jobbra összeolvasva az eredmény tehát: 5F916
Átváltás hexadecimális számrendszerből bináris számrendszerbe
A hexadecimális számrendszerbeli számok bináris számrendszerbeli számmá történő átalakításához első lépésként váltsuk át a hexadecimális számjegyeket decimális számokká. Az így kapott értékeket váltsuk át bináris számokká, majd az eredményt olvassuk össze.
Lássunk egy példát! Az átváltandó szám a 7BA16
A táblázat utolsó sorát balról jobbra összeolvasva az eredmény tehát: 111101110102
Átváltó:
PPT:
1. Átváltás: 2-es számrendszerből 10-esbe
2. Átváltás: 10-es számrendszerből_2-esbe
3. Összeadás: két kettes számrendszerbeli számot
4. Kivonás: két kettes számrendszerbeli számot
5. Átváltás: 16-os számrendszerből 10-esbe
6. Átváltás: 10-es számrendszerből 16-osba
Feladatok számolásának ellenőrzéséhez nagyon jó oldal:
http://www.convertworld.com/hu/szamrendszerek/Tizenhatos+sz%C3%A1mrendszer.html
http://www.convertworld.com/hu/szamrendszerek/Kettes+sz%C3%A1mrendszer.html
Források:
www.inczedy.hu/~horvathz/13a/Számrenszerek.pps
http://www.inf.unideb.hu/~szeghalmy/bevInfo/bevInfoGyakorlo.pdf
http://www.arcania.hu/Informatika/intro/binary.html
http://users.atw.hu/lipthaysdiak/szamrendszerek.htm
http://www.kariszoft.hu/tizenhatos.htm
http://www.bethlen.hu/matek/mathist/forras/Szamiras_szamrendszerek.htm
http://www.kariszoft.hu/tizenhatos.htm
You must be logged in to post a comment.